Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx經過圓點O和x軸上的另一點A，它的對稱軸x=2與x軸交于點C，直線y=-2x-1與拋物線y=a²+bx交于點B（-2，m），且y軸、直線x=2分別交于點D、E．
（1）求m的值及該拋物線對應的函數解析式；
（2）試判斷△ECB的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線y=ax²+bx經過圓點O和x軸上的另一點A，它的對稱軸x=2求出A點坐標，再根據再把點B（-2，m）代入直線y=2x-1求出m的值，進而可得出B點坐標，再把A、B兩點坐標代入拋物線y=ax²+bx即可求出a、b的值，進而得出拋物線的解析式；
（2）根據點E是直線x=2與y=-2x-1的交點求出E點坐標，根據兩點間的距離公式可得出BC，CE即BE的長，進而得出結論．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx經過圓點O和x軸上的另一點A，它的對稱軸x=2，
∴A（4，0），
∵點B（-2，m）在直線y=-2x-1上，
∴m=（-2）×（-2）-1=3；
∴B（-2，3），
∵點A（4，0）、B（-2，3）在拋物線y=ax²+bx上，
∴

16a+4b=0 4a-2b=3

，
解得

a= 1 4 b=-1

．
∴拋物線的解析式為：y=

1

4

x²-x；

（2）∵點E是直線x=2與y=-2x-1的交點，
∴

x=2 y=-2x-1

，解得

x=2 y=-5

，
∴E（2，-5），
∵B（-2，3），C（2，0），
∴CE=|-5|=5，BC=

(2+2)2+32

=5，BE=

(2+2)2+(-5-3)2

=4

5

，
∴△BCE是等腰三角形．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求二次函數的解析式、一次函數圖象上點的坐標特點、等腰三角形的判定等知識，難度適中．