Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC＝CD，BE⊥CD，垂足為E，點F在BD上，連接AF、EF．
【小題1】求證：DA＝DE；
【小題2】如果AF∥CD，求證：四邊形ADEF是菱形．

Answer 1

【小題1】見解析。
【小題2】見解析。解析:
證明：（1）∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB．
又∵BC=CD，∴∠DBC=∠BDC． 
∴∠ADB=∠BDC．
又∵∠ADB=∠BDC,BA⊥AD，BE⊥CD，∴BA=BE．
在RT△ABD和RT△EB中， BD=BD， AB=BE．
∴△ABD≌△EBD．
∴AD=ED． (2) ∵AF∥CD，∴∠BDC=∠AFD．
又∵∠ADB=∠BDC，∴∠AFD=∠ADB． ∴AD=AF．
又∵AD=DE，∴AF= DE且AF∥CD．∴四邊形ADEF為平行四邊形．
∵AD="DE" ，∴四邊形ADEF為菱形.