Question

（2012•徐匯區二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinB=

3

5

，⊙B的半徑長為1，⊙B交邊CB于點P，點O是邊AB上的動點．
（1）如圖1，將⊙B繞點P旋轉180°得到⊙M，請判斷⊙M與直線AB的位置關系；
（2）如圖2，在（1）的條件下，當△OMP是等腰三角形時，求OA的長； 
（3）如圖3，點N是邊BC上的動點，如果以NB為半徑的⊙N和以OA為半徑的⊙O外切，設NB=y，OA=x，求y關于x的函數關系式及定義域．

Answer 1

分析：（1）過點M作MD⊥AB，垂足為D，根據MB=2，結合sin∠B的值，可得出MD的長，與圓M的半徑進行比較即可得出⊙M與直線AB的位置關系；
（2）根據（1）得出MD＞MP，OM＞MP，從而△OMP是等腰三角形可分兩種情況討論，①OP=MP，②OM=OP，分別運用相似三角形的性質求解OA即可；
（3）先表示出NF、BF，從而可得出OF的表達式，由⊙N和⊙O外切，可得出ON=x+y，在Rt△NFO中利用勾股定理，可得出y與x的關系式，也可得出自變量的定義域．

解答：解：（1）⊙M與直線AB相離，理由如下：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵sinB=

AC

AB

=

3

5

，AC=6，
∴AB=10，BC=

AB2-AC2

=

102-62

=8．
過點M作MD⊥AB，垂足為D，
在Rt△MDB中，∠MDB=90°，sinB=

MD

MB

=

3

5

，
∵MB=2，
∴MD=

3

5

×2=

6

5

＞1，
故可得⊙M與直線AB相離；

（2）∵MD=

6

5

＞1=MP，
∴OM＞MP．
分兩種情況討論，
1°當OP=MP時，此時OP=MP=PB，
故易得∠MOB=90°，
∴cosB=

OB

BM

=

BC

AB

=

8

10

，
∴OB=

8

5

，
∴OA=

42

5

；
2°當OM=OP時，過點O作OE⊥BC，垂足為E
EB=EP+PB=

1

2

+1=

3

2

，
此時cosB=

EB

OB

=

BC

AB

=

8

10

，
∴OB=

15

8

，
∴OA=

65

8

．
綜上可得，當△OMP是等腰三角形時，OA的長為

42

5

或

65

8

；

（3）連接ON，過點N作NF⊥AB，垂足為F．
在Rt△NFB中，∠NFB=90°，sinB=

3

5

，
設NB=y，則NF=

3

5

y，BF=

4

5

y，
故可得OF=10-x-

4

5

y，
∵⊙N和⊙O外切，
∴ON=x+y，
在Rt△NFO中，∠NFO=90°，則ON²=OF²+NF²，
即(x+y)2=(10-x-

4

5

y)2+(

3

5

y)2，
故可得y=

250-50x

x+40

，定義域為：0＜x＜5．

點評：此題屬于圓的綜合題，涉及了直線與圓的位置關系、勾股定理及等腰三角形的性質，綜合性較強，難點在第二問和第三問，解答時注意分類討論思想的運用，另外要求我們能將所學知識融會貫通．