Question

如圖：在五邊形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，∠BAC=∠EAD，M是CD中點，試判斷
BM，EM的大小關系并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：分別取AC、AD的中點F、G，連BF、FM、GM、GE，由∠ABC=∠AED=90°，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到BF=FA=AC，EG=GA=AD，則∠BAF=∠ABF，∠GAE=∠GEA，于是有∠BFC=2∠BAC，∠EGD=2∠EAD，而∠BAC=∠EAD，則∠BFC=∠EGD，易得FM、GM是△CAD的中位線，根據三角形中位線的性質有FM=AD，FM∥AD，GM=AC，GM∥AC，則∠CFM=∠CAD，∠DGM=∠DAC，FM=EG，GM=BF，可得到∠BFC+∠CFM=∠EGD+∠DGM，即∠BFM=∠EGM，根據全等三角形的判定易證得△BFM≌△EGM，即可得到結論．
解答：解：BM=EM．理由如下：
分別取AC、AD的中點F、G，連接BF、FM、GM、GE，
∵∠ABC=∠AED=90°，
∴BF=FA=AC，EG=GA=AD，
∴∠BAF=∠ABF，∠GAE=∠GEA，
∴∠BFC=2∠BAC，∠EGD=2∠EAD，
而∠BAC=∠EAD，
∴∠BFC=∠EGD，
又∵M是CD中點，F是AC的中點，G是AD的中點，
∴FM、GM是△CAD的中位線，
∴FM=AD，FM∥AD，GM=AC，GM∥AC，
∴∠CFM=∠CAD，∠DGM=∠DAC，FM=EG，GM=BF，
∴∠BFC+∠CFM=∠EGD+∠DGM，即∠BFM=∠EGM，
在△BFM和△EGM中
，
∴△BFM≌△EGM，
∴BM=EM．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：如果兩個三角形中，有兩組對應邊相等，并且它們的夾角也相等，那么這兩個三角形全等．也考查了直角三角形斜邊上的中線的性質以及三角形中位線的性質．