Question

在銳角△ABC中，∠BAC=60°，BN、CM為高，P為BC的中點，連接MN、MP、NP，則結論：①NP=MP；②當∠ABC=60°時，MN∥BC；③BN=2AN；④AN：AB=AM：AC，一定正確的有（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：①由BN、CM為高，P為BC的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得NP=MP；
②由BN、CM為高與∠A是公共角，易證得△AMN∽△ABC，然后由∠BAC=60°與∠ABC=60°，可得△ABC是等邊三角形，則易得∠AMN=∠ABC=60°，即可得MN∥BC；
③根據銳角三角函數的定義，可得③錯誤；
④由②△AMN∽△ABC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可證得AN：AB=AM：AC．
解答：解：①∵BN、CM為高，
∴∠BMC=∠BNC=90°，
∵P為BC的中點，
∴NP=MP，故①正確；

②∵BN、CM為高，
∴∠BNA=∠CMA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△BNA∽△CMA，
∵∠BAC=60°，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴△AMN也是等邊三角形，
∴∠AMN=∠ABC=60°，
∴MN∥BC，故②正確；

③∵∠ABC=60°，
tan60°==2，與矛盾，故③錯誤；

④∵△AMN∽△ABC，
∴AN：AB=AM：AC，故④正確．
∴一定正確的有3個．
故選C．
點評：此題考查了直角三角形的性質，等邊三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．