Question

學習與探究：
（1）請在圖1的正方形ABCD中，作出使∠APB=90°的所有點P，并簡要說明做法．我們可以這樣解決問題：利用直徑所對的圓周角等于90°，作以AB為直徑的圓，則正方形ABCD內部的半圓上所有點（A、B除外）為所求．
（2）請在圖2的正方形ABCD內（含邊），畫出使∠APB=60°的所有的點P，尺規作圖，不寫作法，保留痕跡；
（3）如圖3，已知矩形ABCD中，AB=4，AC=3，請在矩形內（含邊），畫出∠APB=60°的所有的點P，尺規作圖，不寫作法，保留痕跡．

Answer 1

解：（1）在以AB為直徑的半圓上，A，B兩點除外；

（2）如圖②，
作△ABP的外接圓⊙O，分別與AD、BC交于點E、F，弧EF上所有的點均可．
理由：同圓中同弧所對的圓周角相等，

（3）如圖③，畫法如圖：
①連接AC；
②以AB為邊作等邊△ABE；
③作等邊△ABE的外接圓O，交AC于點P；
④在AC上截取AP'=CP．則點P、P′為所求．
（評卷時，作圖準確，無畫法的不扣分）
分析：（1）利用直徑所對圓周角等于90°，即可得出；
（2）①以AB為邊在正方形內作等邊△ABP；
②作△ABP的外接圓⊙O，分別與AD、BC交于點E、F，由于在⊙O中，弦AB所對的上的圓周角均為60°，所以上的所有點均為所求的點P．
（3）因為∠APB=∠CP'D=60°，△APB和△CP′D的面積最大，所以同（2）：
①連接AC；②以AB為邊作等邊△ABE；③作等邊△ABE的外接圓O，交AC于點P；④在AC上截取AP'=CP．則點P、P′為所求．
點評：此題主要考查了應用設計與作圖，綜合利用正方形的性質和同圓中同弧所對的圓周角相等得知識點是解題關鍵．