Question

21、在平面直角坐標系中，O為坐標原點．
（1）已知點A（3，1），連接OA，平移線段OA，使點O落在點B．設點A落在點C，作如下探究：
探究一：若點B的坐標為（1，2），請在圖1中作出平移后的像，則點C的坐標是

；連接AC，BO，請判斷O，A，C，B四點構成的圖形的形狀，并說明理由；
探究二：若點B的坐標為（6，2），按探究一的方法，判斷O，A，B，C四點構成的圖形的形狀．
（溫馨提示：作圖時，別忘了用黑色字跡的鋼筆或簽字筆描黑喔！）
（2）通過上面的探究，請直接回答下列問題：
①若已知三點A（a，b），B（c，d），C（a+c，b+d），順次連接O，A，C，B，請判斷所得到的圖形的形狀；
②在①的條件下，如果所得到的圖形是菱形或者是正方形，請選擇一種情況，寫出a，b，c，d應滿足的關系式．

Answer 1

分析：（1）由題意和圖象可知：OA應該右移三個單位，上移兩個單位后得出的C因此，C的坐標是（4，3）．因為是平移所以AO=BC，AO∥BC，所以四邊形OACB是平行四邊形．當B是（6，2）的時候，OAB三點在直線y=$\frac{1}{3}$x上，因此OABC是條線段．
（2）①同（1）應該是平行四邊形或線段兩種情況．
②當OACB是菱形時，兩條鄰邊應該相等，AC=BC，因此$\sqrt{{（a+c-a）}^{2}+{（b+d-b）}^{2}}$=$\sqrt{{（a+c-c）}^{2}+{（b+d-d）}^{2}}$，因此a²+d²=c²+d²，
當OACB是正方形的時候．如果過B作BE⊥x軸，過A作AF⊥x軸，那么三角形BOE≌三角形AOF．AF=OE，OF=BE，即A點的橫坐標的絕對值=B點的橫坐標的絕對值，A點的縱坐標的絕對值=B點的縱坐標的絕對值，即a=d且b=-c或b=c且a=-d．

解答：解：

（1）探究一：C（4，3），
四邊形OACB為平行四邊形，
理由如下：
由平移可知，OA∥BC，且OA=BC，
所以四邊形OACB為平行四邊形．
探究二：線段

（2）①平行四邊形或線段；
②菱形：a²+b²=c²+d²（a=-c，b=-d除外）
正方形：a=d且b=-c或b=c且a=-d．
（寫出菱形需滿足的條件或寫出正方形需滿足的條件其中一種即可給分）

點評：本題考查圖形的平移變換．關鍵是要懂得左右平移點的縱坐標不變，而上下平移時點的橫坐標不變．