Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-2，0），點B在x軸的正半軸上，點M在y軸的負半軸上，且|AB|=6，cos∠OBM=，點C是M關于x軸的對稱點．
（1）求過A、B、C三點的拋物線的函數表達式及其頂點D的坐標；
（2）設直線CD交x軸于點E，在線段OB的垂直平分線上求一點P，使點P到直線CD的距離等于點P到原點的O距離；
（3）在直線CD上方（1）中的拋物線（不包括C、D）上是否存在點N，使四邊形NCOD的面積最大？若存在，求出點N的坐標及該四邊形面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）易知A（-2，0），B（4，0），C（0，8）．
設拋物線的函數表達式為y=a（x+2）（x-4）．
將C（0，8）代入，得a=-1．
∴過A、B、C三點的拋物線的函數表達式為：y=-x²+2x+8．
y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
∴頂點為D（1，9）．

（2）如圖1，假設存在滿足條件的點P，依題意，設P（2，t）．
由C（0，8），D（1，9）得直線CD的函數表達式為：y=x+8．
設直線CD交x軸于點E，則E（-8，0）．
∴CO=8=OE，∴∠DEO=45°．
設OB的中垂線交CD于H，交x軸于點G．
∴在Rt△HPF中，∠FHP=45°=∠HPF．
點P到CD的距離PF=|10-t|．
又PO==．
∵PF=PO，
∴=|10-t|．
化簡，得t²+20t-92=0，
解得t=-10±．
∴存在點P₁（2，-10+），P₂（2，-10-）滿足條件．

（3）如圖2，過點N作直線NQ∥x軸交CD于點Q．設N（k，-k²+2k+8）．
∵直線CD的函數表達式為y=x+8，
∴Q（-k²+2k，-k²+2k+8）．
∴QN=|-k²+2k-k|=-k²+k．
S_△CND=S_△NQD+S_△NQC
=NQ•|y_D-y_Q|+NQ•|y_Q-y_C|
=（-k²+k）•|9-（-k²+2k+8）|+（-k²+k）•|-k²+2k+8-8|
=（-k²+k）（9+k²-2k-8-k²+2k）
=（-k²+k）．
而S_{四邊形NCOD}=S_△CND+S_△COD
=（-k²+k）+CO•|x_D|
=（-k²+k）+ 8×1
=-k²+k+4
=-（k-）²+．
∴當k=時，四邊形面積的最大為，
此時N（k，-k²+2k+8）點坐標為：（，）．
分析：（1）利用圖象上點的坐標，運用待定系數法求二次函數解析式即可；
（2）根據假設存在滿足條件的點P，依題意，設P（2，t），得出點P到CD的距離PF=|10-t|，再利用PO==，求出t即可；
（3）根據過點N作直線NQ∥x軸交CD于點Q，設N（k，-k²+2k+8），得出Q點的坐標，表示出QN長度，進而得出S_△CND=S_△NQD+S_△NQC，又S_{四邊形NCOD}=S_△CND+S_△COD，得出當k=時，四邊形面積的最大．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及待定系數法求二次函數解析式，利用S_{四邊形NCOD}=S_△CND+S_△COD得出關于k的二次函數，進而得出最值是解題關鍵．