Question

已知m，n是關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個正實數(shù)根，求證：以m+n為邊長的正方形面積與以m、n為邊長的矩形面積之比不小于4．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)根與系數(shù)的關系求得m+n=-，mn=；從而推知正方形、長方形的面積；然后根據(jù)一元二次方程的根的判別式求得它們的比值即可．
解答：證明：∵m，n是關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個正實數(shù)根，
∴m+n=-，mn=，
∴以m+n為邊長的正方形面積S_正方形=（m+n）²=，a、c同號；
以m、n為邊長的矩形面積S_矩形=mn=，
∴S_正方形：S_矩形=b²：ac；
又關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個正實數(shù)根，
∴b²-4ac≥0，即b²≥4ac，∴≥4，
即S_正方形：S_矩形=b²：ac≥4，
∴以m+n為邊長的正方形面積與以m、n為邊長的矩形面積之比不小于4．
點評：本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系．在根據(jù)一元二次方程的根的判別式求b²與ac的比值時，要注意需要討論ac的符號．