Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0），交y軸于點C，點D是線段OB上一動點，連接CD，將CD繞點D順時針旋轉90°得到線段DE，過點E作直線l⊥x軸，垂足為H，過點C作CF⊥l于F，連接DF，CE交于點G．

（1）求拋物線解析式；
（2）求線段DF的長；
（3）當DG= 時，
①求tan∠CGD的值；
②試探究在x軸上方的拋物線上，是否存在點P，使∠EDP=45°？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0），

∴ ，解得 ，∴拋物線解析式為：y=﹣ x2+ x+3

（2）解：當x=0時，y=﹣ x2+ x+3=3，則C（0，3），如圖1，

∵CD繞點D順時針旋轉90°得到線段DE，

∴CD=DE，∠CDE=90°，

∵∠2+∠3=90°，

而∠1+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

在△OCD和△HDE中

，

∴△OCD≌△HDE，

∴HD=OC=3，

∵CF⊥BF，

∴四邊形OCFH為矩形，

∴HF=OC=3，

∴DF= =3

（3）解：①∵△CDE和△DFH都是等腰直角三角形，如圖1，

∴∠DCE=45°，∠DFH=45°，

∴∠DFC=45°，

而∠CDG=∠FDC，

∴△DCG∽△DFC，

∴ ，∠DGC=∠DCF，即 ，解得CD= ，

∵CF∥OH，

∴∠DCF=∠2，

∴∠CGD=∠2，

在Rt△OCD中，OD= = =1，

∴tan∠2= =3，

∴tan∠CGD=3；

②∵OD=1，

∴D（1，0），

∵△OCD≌△HDE，

∴HD=OC=3，EH=OD=1，

∴E（4，1），

取CE的中點M，如圖2，則M（2，2），

∵△DCE為等腰直角三角形，∠EDP=45°，

∴DP經過CE的中點M，

設直線DP的解析式為y=mx+n，

把D（1，0），M（2，2）代入得 ，解得 ，

∴直線DP的解析式為y=2x﹣2，

解方程組 得 或 （舍去），

∴②P點坐標為（ ， ）

【解析】（1）已知A（﹣1，0）和B（5，0）由待定系數法易得函數解析式為y=﹣ x2+ x+3；
（2）由題易得C（0，3）已知CD繞點D順時針旋轉90°得到線段DE可得△CDE是等腰直角三角形，加上互余關系可得△OCD≌△HDE，從而HD=OC=3，

又因為CF⊥BF，所以四邊形OCFH為矩形，HF=OC=3，從而利用勾股定理的線段DF的長。
（3）①由△CDE和△DFH都是等腰直角三角形可得△DCG∽△DFC，從而得到CD= ，利用勾股定理可得OD=1，因此 tan∠2= =3，再利用平行線性質易得 ∠CGD=∠2所以tan∠CGD= tan∠2=3
②由△OCD≌△HDE可得HD=OC=3，EH=OD=1，從而E（4，1），取CE的中點M由△DCE為等腰直角三角形，∠EDP=45°，可得DP經過CE的中點M，這樣我們可得直線DP的解析式為y=2x﹣2，與二次函數解析式連列方程組可得交點坐標，即P的坐標。

【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．