Question

如圖，四邊形ABCD、EFGH是兩個矩形紙片，邊EF在邊BC上滑動（E與B、F與C可以重合），過點E作EP∥AC交AB于點P，已知AB=6，AD=8，EF=．
（1）求證：EP⊥EM；
（2）設BE=x，陰影部分面積為y，試求y與x之間的函數關系式；并寫出x的取值范圍以及y的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于EP∥AC，若證EP⊥EM，可證EM⊥AC；根據AB、BC、EF、MF的長，可證得Rt△ABC、Rt△EFM的兩組直角邊對應成比例，即可證得這兩個三角形相似，得∠EMF=∠ECA，進而可證得AC⊥EM，由此得證．
（2）設HE、FG與AC的交點為R、Q，可用BE的長表示出EC、FC，再根據∠ACB的正切值，即可得到FQ、ER的長，進而可表示出梯形REFQ的面積，同理可求得△ARN的面積，兩者相加即可得到關于y、x的函數關系式，進而可根據函數的性質求得y的最小值及對應的x的值．
解答：解：（1）∵AB=MF=6，BC=8，EF=，
∴，
又∵∠ABC=∠EFM=90°，
∴△EFM∽△ABC，
∴∠EMF=∠ACB，
∵∠FQC+∠ACB=90°，
∴∠AQM+∠EMF=90°，即AC⊥EM；
又∵AC∥EP，
∴EP⊥EM．

（2）∵BE=x，
∴EC=8-x，FC=8--x=-x．
∵tan∠ACB====，
∴RE=EC=（8-x）=6-x，QF=FC=（-x）=-x，NR=x，
由S_陰影=S_△ANR+S_梯形REFQ可得：
=（）；
當時，．
點評：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質、矩形的性質以及二次函數最值的應用，難度適中．