Question

如圖，⊙O的半徑為1，如果作兩條互相垂直的直徑AB，CD，那么弦AC是⊙O的內接正四邊形的一條邊．若以A為圓心，以1為半徑畫弧，弧與⊙O相交于點E，F，則弦EC是⊙O的內接正十二邊形的一條邊，EC的長為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：利用正多邊形和圓的關系得到相應的角的度數和邊的長度進行計算．
解答：解：由題意得∠AOC=90°，
根據勾股定理易得AC=，
那么在△AEC中，AE=1，AC=；
∵EC是⊙O的內接正十二邊形的一條邊，
∴∠EAC=15°，
同理∠ACE=30°，
作EF=EC交AC于點F，
那么EF=EC，∠EFC=∠C=30°，
∴∠AEF=∠EAF=15°；
作EG⊥AC于點G，
設EC=x，
那么CG=FG=x，
AF=EF=CE=x；
∵AF+FG+EC=AC，
∴x+x+x=，
解得x=．
故選D．
點評：解決本題的關鍵是利用正多邊形和圓的關系得到相應的角的度數和邊的長度，難點是作輔助線構造等腰三角形和直角三角形求解．