Question

已知a、b是關于x的一元二次方程的兩個實數根，那么的最小值是 ▲ ．

Answer 1

利用根與系數的關系可知：m+n=-2a，mn=a²+4a-2，則m²+n²=（m+n）²-2mn=4a²-2（a²+4a-2）=2a²-8a+4=2（a-2）²-4，此題還需考慮有實數根時a的取值范圍，所以利用根的判別式求出a的取值范圍，再利用二次函數的性質綜合考慮求最小值則可．
解：∵△=（2m）²-4（m²+4m-2）≥0，
∴a≤
又∵a+b=-2m，ab=m²+4m-2，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=2（m-2）²-4，
根據二次函數的性質，m＜2時，函數值隨a的增大而減小，
∴當m=時，m²+n²的值最小，
此時=2(-2)²-4=，即最小值為．