Question

如圖，在直角坐標系中，y軸是邊長為2的等邊△BAD的對稱軸，x軸是等腰△BDC的對稱軸．
（1）試求出經過點A、點B，且對稱軸為直線x=1的拋物線的解析式；
（2）把△BDC沿著直線BD翻折后，得到△BDC'．
①問點C'是否在（1）中的拋物線上？
②設BC'交直線x=1于點Q．若點P是（1）中的拋物線上的一個動點，過點P作PT⊥直線x=1，垂足為T，問：在拋物線上是否存在著點P，使得以P、T、Q為頂點的三角形與△QDC'相似？若存在，寫出所有符合上述條件的點P的橫坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

（1）由題意可知A（-1，0）B（0，

3

），
拋物線的對稱軸為直線x=1，則拋物線與x軸的另一個交點為（3，0）
將三點坐標代入y=ax²+bx+c得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c= 3

，
解得

a=- 3 3 b= 2 3 3 c= 3

，
故拋物線的解析式為y=-

3

3

x2+

2 3

3

x+

3

；

（2）①BD=

OB2+OD2

=2，
∵△BCD為等腰三角形，
∴CD=BD=2，
∴C點坐標為（0，-

3

），
把△BDC沿著直線BD翻折后，得到△BDC′．
可求得點C′的坐標為（3，0），
代入拋物線解析式y=-

3

3

x2+

2 3

3

x+

3

符合，
即點C'在拋物線上．
②存在．共有4個點，
它們的橫坐標分別是：-1，2，

-1+ 17

2

，

-1- 17

2

．