Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是

BD

的中點，CE⊥AB于E，BD交CE于點F．
（1）求證：CF﹦BF；
（2）若CD﹦6，AC﹦8，則⊙O的半徑為

 

，CE的長是

 

．

Answer 1

分析：（1）要證明CF﹦BF，可以證明∠1=∠2；AB是⊙O的直徑，則∠ACB﹦90°，又知CE⊥AB，則∠CEB﹦90°，則∠2﹦90°-∠ACE﹦∠A，∠1﹦∠A，則∠1=∠2；
（2）在直角三角形ACB中，AB²=AC²+BC²，又知，BC=CD，所以可以求得AB的長，即可求得圓的半徑；再根據三角形相似可以求得CE的長．

解答：（1）證明：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB﹦90°
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB﹦90°
∴∠2﹦90°-∠ACE﹦∠A，
∵C是

BD

的中點，
∴

BC

=

DC

，
∴∠1﹦∠A（等弧所對的圓周角相等），
∴∠1﹦∠2，
∴CF﹦BF；


（2）解：∵C是

BD

的中點，CD﹦6，
∴BC=6，
∵∠ACB﹦90°，
∴AB²=AC²+BC²，
又∵BC=CD，
∴AB²=64+36=100，
∴AB=10，
∴CE=

AC•BC

AB

=

8×6

10

=

24

5

，
故⊙O的半徑為5，CE的長是

24

5

．

點評：本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的應用能力．