Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB在x軸上，AB=10，以AB為直徑的⊙O₁與y軸正半軸交于點C，連接BC、AC，CD是⊙O₁的切線，AD⊥CD于點D，tan∠CAD=，拋物線y=ax²+bx+c過A、B、C三點．
（1）求證：∠CAD=∠CAB；
（2）求拋物線的解析式；
（3）判斷拋物線的頂點E是否在直線CD上，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線的性質得出O₁C∥AD，進而得出O₁A=O₁C，則∠CAB=∠O₁CA，即可得出答案；
（2）首先得出△CAO∽△BCO，即可得出，再利用OC²=2CO（10-2CO），得出A．B，C交點坐標，即可得出拋物線解析式；
（3）首先求出△AOC≌△ADC即可得出AD=AO=8，利用O₁C∥AD，得出△FO₁C∽△FAD，即可求出F點坐標，求出CD解析式，再利用E點坐標代入解析式即可得出答案．
解答：（1）證明：連接O₁C，
∵CD是⊙O₁的切線，
∴O₁C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O₁C∥AD，
∴∠O₁CA=∠CAD，
∵O₁A=O₁C，
∴∠CAB=∠O₁CA，
∴∠CAD=∠CAB；

（2）解：∵AB是⊙O₁的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴，
即OC²=OA•OB，
∵tan∠CAO=tan∠CAD=，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC²=2CO（10-2CO），
∵CO＞0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A（8，0），B（-2，0），C（0，4），
∵拋物線y=ax²+bx+c過點A，B，C三點，
∴c=4，
由題意得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；

（3）解：設直線DC交x軸于點F，
在△AOC和△ADC中，
，
∴△AOC≌△ADC（AAS），
∴AD=AO=8，
∵O₁C∥AD，
∴△FO₁C∽△FAD，
∴，
∴8（BF+5）=5（BF+10），
∴BF=，F（）；
設直線DC的解析式為y=kx+m，則
，
解得： ，
∴直線DC的解析式為y=x+4，
由=得頂點E的坐標為（3，），
將E（3，）代入直線DC的解析式y=x+4中，
右邊=×3+4==左邊，
∴拋物線頂點E在直線CD上．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用，以及待定系數法求一次函數和二次函數解析式以及相似三角形的判定與性質等知識，得出A，B，C點坐標是解題關鍵．