Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點D，點O是AB上一點，⊙O過B、D兩點，且分別交AB，BC于點E，F．

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）已知AB=5，AC=4，求⊙O的半徑r．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，如圖，

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠ABC的平分線交AC于點D，

∴∠OBD=∠DBC，

∴∠ODB=∠DBC，

∴OD∥BC，

∵∠C=90°，

∴∠ADO=90°，

∴OD⊥AC，

∴AC是⊙O的切線

（2）解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，AC=4，

∴BC= =3，

∵OD∥BC，

∴△AOD∽△ABC，

∴ = ，即 = ，

解得r= ．

【解析】要證AC是⊙O的切線，可知點D在圓上，因此連半徑OD，再證明OD⊥AC即可，只需證出OD∥BC，再根據已知∠C=90°，即可得結論。
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出BC的長，再證明△AOD∽△ABC，運用相似三角形的性質，得對應邊成比例，建立關于r的方程，求解即可。
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和切線的判定定理的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．