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(2006•寧波)如圖,在⊙O中,弦AB與CD相交于點M,AD=BC,連接AC.
(1)求證:△MAC是等腰三角形;
(2)若AC為⊙O直徑,求證:AC2=2AM•AB.

【答案】分析:(1)由等弧對等角可得∠MCA=∠MAC,再由等角對等邊得AM=MC;
(2)求證△AOM∽△ABC、有AO•AC=AM•AB,而AC=2AO,故有AC2=2AM•AB.
解答:證明:(1)∵弧AD=弧CB,
∴∠MCA=∠MAC.
∴△MAC是等腰三角形.

(2)連接OM,
∵AC為⊙O直徑,
∴∠ABC=90°.
∵△MAC是等腰三角形,AM=CM,OA=OC,
∴MO⊥AC.
∴∠AOM=∠ABC=Rt△.
∵∠MAO=∠CAB,
∴△AOM∽△ABC.

∴AO•AC=AM•AB.
∴AC2=2AM•AB.
點評:本題利用了圓周角定理,等腰三角形的判定和性質,直徑對的圓周角為直角,相似三角形的判定和性質求解.
練習冊系列答案
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(2006•寧波)如圖,在離旗桿6m的A處,用測角儀測得旗桿頂端c的仰角為50度.已知測角儀高AD=1.5m,求旗桿BC的高.(結果是近似數,請你自己選擇合適的精確度)
如果你沒有帶計算器,也可選用如下數據:sin50°≈0.7660,cos50°≈O.6428,tan50°≈1.192,cot50°≈O.8391.

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(2006•寧波)如圖,△ABC與△DEF是位似圖形,位似比為2:3,已知AB=4,則DE的長等于( )

A.6
B.5
C.9
D.

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