Question

（2006•寧波）如圖，在⊙O中，弦AB與CD相交于點M，AD=BC，連接AC．
（1）求證：△MAC是等腰三角形；
（2）若AC為⊙O直徑，求證：AC²=2AM•AB．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等弧對等角可得∠MCA=∠MAC，再由等角對等邊得AM=MC；
（2）求證△AOM∽△ABC、有AO•AC=AM•AB，而AC=2AO，故有AC²=2AM•AB．
解答：證明：（1）∵弧AD=弧CB，
∴∠MCA=∠MAC．
∴△MAC是等腰三角形．

（2）連接OM，
∵AC為⊙O直徑，
∴∠ABC=90°．
∵△MAC是等腰三角形，AM=CM，OA=OC，
∴MO⊥AC．
∴∠AOM=∠ABC=Rt△．
∵∠MAO=∠CAB，
∴△AOM∽△ABC．
∴
∴AO•AC=AM•AB．
∴AC²=2AM•AB．
點評：本題利用了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質，直徑對的圓周角為直角，相似三角形的判定和性質求解．