Question

如圖，正方形ABC0中，點E、F分別在AB、BC上，∠EOF=45°，OD⊥EF于D，OA=OD，DE=2，DF=3．則正方形ABCD的邊長為（ ）

A．5
B．6
C．7
D．8

Answer 1

【答案】分析：根據OD⊥EF，OA⊥AE，OA=OD，OE=OE，利用“HL”可證△ODE≌△OAE，則AE=ED，∠AOE=∠DOE，又∠AOE+∠COF=∠AOC-∠EOF=90°-45°=45°，∠DOE+∠DOF=∠EOF=45°，可證∠COF=∠DOF，且OD=OA=OC，證明△DOF≌△COF，得CF=DE，設正方形的邊長為a，則BE=a-2，BF=a-3，EF=DE+DF=5，在Rt△BEF中，由勾股定理求a即可．
解答：解：設正方形的邊長為a，
∵OD⊥EF，OA⊥AE，OA=OD，OE=OE，
∴△ODE≌△OAE（HL），
∴AE=ED=2，∠AOE=∠DOE，
又∵∠AOE+∠COF=90°-∠EOF=45°，∠DOE+∠DOF=∠EOF=45°，
∴∠COF=∠DOF，
又∵OD=OA=OC，
∴△DOF≌△COF（SAS），
∴CF=DF=3，
∴BE=a-2，BF=a-3，EF=DE+DF=5，
在Rt△BEF中，BE²+BF²=EF²，即（a-2）²+（a-3）²=5²，
解得a=6．
故選B．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的運用．關鍵是利用全等三角形的性質，把條件集中到直角三角形中，運用勾股定理求解．