Question

如圖，拋物線與y軸交于A點，過點A的直線與拋物線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C(3，0).

（1）求直線AB的函數關系式；

（2）動點P在線段OC上從原點出發以每秒一個單位的速度向C移動，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N. 設點P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；

（3）設在（2）的條件下（不考慮點P與點O，點C重合的情況），連接CM，BN，當t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由.

 

Answer 1

解：（1）∵A、B在拋物線上，

        ∴當，當。即A、B兩點坐標分別為（0，1），（3，）。

        設直線AB的函數關系式為，∴ 得方程組：

             ，解之，得   。

         直線AB的解析式為。

           （2）依題意有P、M、N 的坐標分別為

            P（t，0），M（t，），N（t，）

           

 

           （3）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，此時，有

                 ，解得，

            所以當t=1或2時，四邊形BCMN為平行四邊形。

           當t=1時，，，故。

              又在Rt△MPC中，，故MN=MC，

              此時四邊形BCMN為菱形。

          當t=2時，，，故。

             又在Rt△MPC中，，故MN≠MC。

             此時四邊形BCMN不是菱形。

解析:（1）由A、B在拋物線上，可求出A、B點的坐標，從而用待定系數法求出直線AB的函數關系式。

      （2）用t表示P、M、N 的坐標，由等式得到函數關系式。

      （3）由平行四邊形對邊相等的性質得到等式，求出t。再討論鄰邊是否相等。