Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，若．

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）設(shè)的面積為，試判斷有最大值或最小值？若有，求出其最值，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．

【解析】

（1）將點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c即可；

（2）把（1）中的一般式配成頂點(diǎn)式可得到M（1，4），設(shè)直線BM的解析式為y=kx+n，再利用待定系數(shù)法求出直線BM的解析式，則P（m，-2m+6）（1≤m＜3），于是根據(jù)三角形面積公式得到S=-m2+3m，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

（3）討論：∠PDC不可能為90°；當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，易得-2m+6=3，解方程求出m即可得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)∠PCD=90°時(shí)，利用勾股定理得到和兩點(diǎn)間的距離公式得到m2+（-2m+3）2+32+m2=（-2m+6）2，然后解方程求出滿足條件的m的值即可得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）把，代入，

得

解得

∴拋物線解析式為：；

（2）∵，

∴頂點(diǎn)，

∵，

∴設(shè)的解析式為：

則有

解得，

∴的解析式為：，

∵，軸

∴，則，，

∴，

∵

∴有最大值，

當(dāng)時(shí)，；

（3）存在，

①時(shí)，如圖①

∵軸

∴時(shí)，軸

∴，即，

解得：，

∴此時(shí)；

②時(shí)，如圖②，

∵軸，

∴，

∴，

又∵，

∴，

即，

∵，，，

∴，，，

∴，

∴，

，

解得：（舍），，

∴；

③∵軸，在軸的正半軸上，

∴不可能等于；

綜上所述，或．