Question

已知（如圖） AD是△ABC的角平分線，過D作DE∥AC，DF∥AB．
（1）求證：四邊形AEDF是菱形；
（2）若∠BAC=90°，則四邊形AEDF是什么圖形？請你給出證明過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據已知條件判定四邊形AEDF是平行四邊形；然后由平行四邊形的性質、角平分線的性質以及等腰三角形的判定推知AE=ED；
（2）若∠BAC=90°，則四邊形AEDF是正方形．
解答：（1）證明：∵DE∥AF，DF∥AE，
∴四邊形AEDF是平行四邊形．
∵∠DAE=∠DAF，∠DAF=∠EDA，
∴∠DAE=∠EDA，
∴AE=ED，
∴四邊形AEDF是菱形；

（2）解：若∠BAC=90°，則四邊形AEDF是正方形．理由如下：
由（1）知，四邊形AEDF是菱形，
∴AE=ED=DF=FA，
∴菱形AEDF是正方形．
點評：本題考查了菱形的判定與性質，正方形的判定．有一內角為直角的菱形是正方形．