Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D是邊AB上的一點，且∠A=2∠DCB.E是BC上的一點，以EC為直徑的⊙O經過點D。
（1）求證:AB是⊙O的切線；
（2）若CD的弦心距為1,BE=ED.求BD的長.

Answer 1

（1）證明：連結OD，
∵∠DOB=2∠DCB
又∵∠A=2∠DCB
∴∠A=∠DOB
又∵∠A+∠B=90°
∴∠DOB+∠B=90°
∴∠BDO=90°
∴OD⊥AB
∴AB是⊙O的切線
（2）解法一：過點O作OM⊥CD于點M
∵OD=OE=BE=BO
∠BDO=90°
∴∠B=30°
∴∠DOB=60°
∴∠DCB=30°OD=OC=2OM=2
∴BO=4,
∴BD=
（2）解法二：過點O作OM⊥CD于點M，連結DE,
∵OM⊥CD，∴CM=DM
又∵OC=OE∴DE=2OM=2
∵Rt△BDO中，OE=BE
∴DE=BO∴BO=4，
∴OD=OE=2，∴ BD=

                     ①                                                 ②