Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，點P由B出發(fā)沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s，交BD于Q，連接PE，若設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜5），解答下列問題：

（1）當t為何值時，PE∥AB；

（2）設(shè)△PEQ的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時刻t，使？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；

（4）連接PF，在上述運動過程中，五邊形PFCDE的面積是否發(fā)生變化？說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）1或4；（4）不會發(fā)生變化，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）若要PE∥AB，則應(yīng)有DE:DA=DP:DB，故用t表示DE和DP后，代入上式求得t的值；

（2）過B作BM⊥CD，交CD于M，過P作PN⊥EF，交EF于N．由題意知，四邊形CDEF是平行四邊形，可證得△DEQ∽△BCD，得到DE:BC=EQ:CD，求得EQ的值，再由△PNQ∽△BMD，得到PQ:BD=PN:BM，求得PN的值，利用S△PEQ=EQPN得到y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）利用建立方程，求得t的值；

（4）易得△PDE≌△FBP，故有S五邊形PFCDE=S△PDE+S四邊形PFCD=S△FBP+S四邊形PFCD=S△BCD，即五邊形的面積不變．

解：(1)當PE∥AB時，

∴DE:DA=DP:DB.

而DE=t，DP=10t，

∴t:6=(10t):10，

∴t=，

∴當t= (s),PE∥AB.

(2)∵線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運動，

∴EF平行且等于CD，

∴四邊形CDEF是平行四邊形。

∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC.

∵BC=BD=10，

∴△DEQ∽△BCD.

∴DE:BC=EQ:CD.

t:10=EQ:4.

∴EQ=t.

過B作BM⊥CD，交CD于M，過P作PN⊥EF，交EF于N，

∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，

∴CM=CD=2cm，

∴BM=cm，

∵EF∥CD，

∴∠BQF=∠BDC，∠BFG=∠BCD，

又∵BD=BC，

∴∠BDC=∠BCD，

∴∠BQF=∠BFG，

∵ED∥BC，

∴∠DEQ=∠QFB，

又∵∠EQD=∠BQF，

∴∠DEQ=∠DQE，

∴DE=DQ，

∴ED=DQ=BP=t，

∴PQ=102t.

又∵△PNQ∽△BMD，

∴PQ:BD=PN:BM.

∴(102t):10=PN: .

∴PN= (1).

∴S△PEQ=EQPN=×× (1) .

(3)S△BCD=CDBM=×4×=

若S△PEQ=S△BCD，

則有 ，

解得t1=1,t2=4.

(4)在△PDE和△FBP中，

∵DE=BP=t，PD=BF=10t，∠PDE=∠FBP，

∴△PDE≌△FBP(SAS).

∴S五邊形PFCDE=S△PDE+S四邊形PFCD=S△FBP+S四邊形PFCD=S△BCD=.

∴在運動過程中，五邊形PFCDE的面積不變.