Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x=-2．
（1）求此拋物線的表達式；
（2）連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，
（3）點P是拋物線對稱軸上一動點，拋物線上是否存在一點Q，使得以A、B、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？如果存在，請直接寫出Q點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由方程x²-10x+16=0得，x₁=2，x₂=8，
∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OB＜OC，
∴點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8），
∵拋物線的對稱軸是直線x=-2，
∴點A的坐標是（-6，0），
∵點A、B、C都在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴，
解得，
∴此拋物線的表達式為y=-x²-x+8；

（2）∵A（-6，0），B（2，0），AE的長為m，
∴AB=2-（-6）=2+6=8，BE=8-m，
S_△ABC=×8×8=32，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△ABC，
∴=（）²，
∴△BEF的面積=32×（8-m）²=（8-m）²，
由EF∥AC可得==，
等高的三角形的面積的比等于底邊的比可得：==，
∴S=×（8-m）²=m（8-m）=-m²+4m（0＜m＜8），
又∵S=-m²+4m=-（m²-8m+16）+8=-（m-4）²+8，
∴當m=4時，S有最大值，最大值是8，
此時，OE=6-4=2，
∴點E的坐標為（-2，0）；

（3）存在點Q（-2，）或（6，-32）或（-10，-32），使得以A、B、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形．
理由如下：①很明顯，當AB是對角線時，點Q在頂點時，以A、B、P、Q為頂點的四邊形可以為平行四邊形，
此時y=-x²-x+8=-（x+2）²++8=-（x+2）²+，
∴頂點坐標為（-2，），
即點Q的坐標為（-2，），
②當AB為邊時，∵AB=8（已求），
∴PQ=8，
∵點P在對稱軸x=-2上，
∴點Q的橫坐標為6或-10，
當橫坐標為6時，y=-×6²-×6+8=-32，
當橫坐標是-10時，y=-×（-10）²-×（-10）+8=-32，
∴點Q的坐標為（6，-32）或（-10，-32），
故存在點Q（-2，）或（6，-32）或（-10，-32），使得以A、B、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形．
分析：（1）解一元二次方程求出點B、C的坐標，再根據二次函數的對稱性求出點A的坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答即可；
（2）先表示出BE的長度并求出△ABC的面積，再判定△BEF和△ABC相似，然后根據相似三角形面積的比等于相似比的平方表示出△BEF的面積，再根據等高的三角形的面積的比等于底邊的比列式求解即可得到S與m的關系式，然后根據二次函數的最值問題解答即可；
（3）根據平行四邊形的性質，分①AB是對角線時，根據二次函數的對稱性，點Q是拋物線的頂點時，以A、B、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形；②AB是邊時，根據平行四邊形的對邊相等先求出點Q的橫坐標，然后代入拋物線解析式計算即可得解．
點評：本題綜合考查了二次函數，主要有一元二次方程的解法，待定系數法求二次函數解析式，相似三角形面積的比等于相似比的平方的性質，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，以及平行四邊形的對邊相等的性質，（3）注意要分AB是對角線與邊兩種情況討論．