Question

如圖所示，以Rt△ABC的一條直角邊AB為直徑作⊙O，與AC交于點F，在AB的延長線上取一點E，連接EF與BC交于點D，且使得DF=CD．
（1）求證：FE是⊙O的切線；
（2）如果sin∠A=，AE=，求AF的長．

Answer 1

（1）證明：連接OF．
∵DF=CD，OF=OA
∴∠C=∠CFD，∠A=∠AFO．
又△ABC是直角三角形，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠CFD+∠AFO=90°，
∴∠OFE=90°，
∴FE是⊙O的切線；

（2）解：作FG⊥AE于G．
∵sin∠A=，
∴∠A=30°，
∴∠EOF=60°，
∴∠OEF=30°，
∴AF=EF，
又FG⊥AE，
∴AG=EG=，
∴AF==1．
分析：（1）連接OF．根據DF=CD和OF=OA得到∠C=∠CFD，∠A=∠AFO．根據Rt△ABC得到∠A+∠C=90°，從而得到∠CFD+∠AFO=90°，從而證明切線；
（2）作FG⊥AE于G．根據sin∠A=，得到∠A=30°，根據圓周角定理得到∠EOF=60°，則∠OEF=30°，從而得到等腰三角形AEF．根據等腰三角形的三線合一得到AG=EG=，在直角三角形AFG中，進而求得AF的長．
點評：此題綜合運用了切線的判定、等腰三角形的判定和性質以及解直角三角形的知識．連接過切點的直線是圓中常見的輔助線之一．