Question

【題目】△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC，∠ACB＝90°

（1）如圖1，點M是BA延長線上一點，連結CM，K是AC上一點，BK延長線交CM于N，∠MBN＝∠MCA＝15°，BK＝8，求CM的長度；

（2）如圖2，直線l經過點C，AF⊥l于點F，BE⊥l于點E，點D是AB的中點，連接ED，求證：AF＝BE+DE；

（3）將圖2中的直線l旋轉到△ABC的外部，其他條件不變，請求出AF、BE、DE的關系．并寫出必要的步驟．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）AF=BE+DE，見解析；（3）AF+BE＝DE，見解析

【解析】

（1）過C作CD⊥AB于D，由等腰直角三角形的性質可得∠ABC＝∠BAC＝45°，進而確定∠KBC＝30°，根據直角三角形的性質得到BC＝4，求得CD＝BC＝2，解直角三角形即可得到結論；

（2）如圖2，連接DF，CD，根據等腰直角三角形的性質得到CD＝BD，∠CDB＝90°，由全等三角形的性質得到BE＝CF，CE＝AF，推出△BDE≌△CDF，根據全等三角形的性質得到∠EDB＝∠FDC，DE＝DF，根據余角的性質得到∠EDF＝90°，根據等腰直角三角形的性質得到EF＝DE，于是得到結論；

（3）結論：BE+AF＝DE，連接CD，DF，由（2）證得△BCE≌△ACF，根據全等三角形的性質得到BE＝CF，CE＝AF，由（2）證得△DEF是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得到EF＝DE，即可得到結論．

解：（1）過C作CD⊥AB于D，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠BAC＝45°，

∵∠MBN＝15°，

∴∠KBC＝30°，

∵BK＝8，

∴BC＝4，

∴CD＝BC＝2

∵∠MCA＝15°，∠BAC＝45°，

∴∠M＝30°，

∴CM＝2CD＝4；

（2）∵BE⊥CE，

∴∠BEC＝∠ACB＝90°，

∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF＝90°，

∴∠EBC＝∠ACF，

∵AF⊥l于點F，

∴∠AFC＝90°，

在△BCE與△ACF中，

，

∴△ACF≌△CBE（AAS），

如圖2，連接DF，CD，

∵點D是AB的中點，

∴CD＝BD，∠CDB＝90°，

∵△ACF≌△CBE，

∴BE＝CF，CE＝AF，

∵∠EBD＝∠DCF，

在△BDE與△CDF中，

，

∴△BDE≌△CDF（SAS），

∴∠EDB＝∠FDC，DE＝DF，

∵∠CDF+∠FDB＝90°，∠EDB+∠BDF＝90°，

∴∠EDF＝90°，

∴△EDF是等腰直角三角形，

∴EF＝DE，

∴AF＝CE＝EF+CF＝BE+DE；

（3）如圖3，連接CD，DF，

由（2）證得△BCE≌△ACF，

∴BE＝CF，CE＝AF，

由（2）證得△DEF是等腰直角三角形，

∴EF＝DE，

∵EF＝CE+CF＝AF+BE＝DE．

即AF+BE＝DE．