Question

（2003•廈門）已知一次函數(shù)y=kx+2的圖象經過第一，二，三象限，且與x，y軸分別交于A、B兩點O是原點，若△AOB的面積為2．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）設點P（m，n）（其中n≥0）是一次函數(shù)y=kx+2圖象上的點，過點P向以原點O為圓心1為半徑的⊙O引切線PC、PD，切點分別為C、D，①當-2≤m≤0時，求四邊形PCOD的面積S的取值范圍．②若CD=，求切點C、D的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為直線與x，y軸分別交于A、B兩點O是原點，△AOB的面積為2，所以A（-，0），B（0，2），×2×=2，解之即可；
（2）利用PC、PD切⊙O于C、D，可得∠PCO=∠PDO=90°，利用勾股定理可得PD=PC=，所以S_PCOD=××2=，因為P（m，n）是y=x+2上的點，所以n=m+2，所以有S_PCOD==，結合m的取值即可對S的取值作出判斷；
（3）因為CD=，PC、PD是圓的切線，連接OP，則OP⊥CD，所以S_PCOD=•CD•OP，即=，將n=m+2代入可得m的值，從而求出n=3，P（1，3），再設⊙O與x軸的正、負半軸交于點F、N，則F（1，0），N（-1，0），利用PF⊥OF，判定PF是過P的圓O的一條切線，所以F與D重合，D（1，0），再連接CN，作CM⊥DN于M，利用DN是直徑，得到
∠NCD=90°，利用勾股定理可求出CN==，
CM==，
MD=，
OM=-1=，
所以C（-，），D（1，0）．
解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+2的圖象經過第一，二，三象限，直線與x，y軸分別交于A、B兩點O是原點，△AOB的面積為2，
∴A（-，0），B（0，2），
∴×2×=2，
解之k=1，
所以y=x+2；

（2）①∵PC、PD切⊙O于C、D，
∴∠PCO=∠PDO=90°，
∵OD=OC=1，OP²=m²+n²∴PD=PC=，
∴S_PCOD=××2=，
∵P（m，n）是y=x+2上的點，
∴n=m+2，
∴S_PCOD==，
∵-2≤m≤0，
∴當m=-1時，S有最小值=1，當m=-2和m=0時，S有最大值=，
∴1≤S≤；
②∵CD=，PC、PD是圓的切線，連接OP，則OP⊥CD，
∴S_PCOD=•CD•OP，
∴=，
∵n=m+2，
∴m²+2m-3=0，
∴m=-3或m=1，
∵n≥0，
∴m=1，
∴n=3，P（1，3）
設⊙O與x軸的正、負半軸交于點F、N，則F（1，0），N（-1，0），
∴PF⊥OF，即PF是過P的圓O的一條切線，
∴F與D重合，D（1，0），
連接CN，作CM⊥DN于M，
∵DN是直徑，
∴∠NCD=90°，
∵CD=，ND=2，
∴CN==，
CM==，
MD=，
OM=-1=
∴C（-，），D（1，0）．
點評：本題需仔細分析題意，結合圖形，利用勾股定理和切線的性質即可解決問題．