Question

如圖，AB為⊙O的直徑，∠ABT=45°，AB=AT=4．
（1）求證：AT是⊙O的切線；
（2）若P為OA的中點，過點P作MN⊥AB，交⊙O與點M，C，交BN于點N，求MN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）若要證明AT是⊙O的切線，只要證明∠A=90°即可；
（2）連接OM，利用三角形相似的性質和勾股定理可分別求出NP和MP的值，即可求出MN的值．
解答：（1）證明：
∵AB=AT=4，
∴∠T=∠ABT=45°，
∴∠A=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴AT是⊙O的切線；
（2）連接OM，
∵P為OA的中點，
∴OP=AP，
∵AB=AT=4．
∴OA=OB=OM=2，
∴OP=AP=1，
∵MN⊥AB，
∴∠OPM=90°，
∴△OPM是直角三角形，
∴PM==，
∵AB⊥AT，MN⊥AB，
∴NP∥AT，
∴△BNP∽△BTA，
∴，
，
∴NP=3，
∴MN=MP+PN=3+．
點評：本題考查了切線的判定和性質以及相似三角形的判定和性質等，一般情況下要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．