Question

（2008•綿陽）如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交AB于E，交⊙O于D．求弦AD，CD的長．

Answer 1

【答案】分析：根據圓周角定理及勾股定理可得AD的長，過E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，則四邊形CFEG是正方形，設EF=EG=x，由三角形面積公式可求出x的值，及CE的值，根據△ADE∽△CBE，根據相似比可求出DE的長，進而求出CD的長．
解答：解：∵AB是直徑
∴∠ACB=90°
∵AB=10cm，AC=6cm，
∴BC===8（cm）
∵CD平分∠ACB
∴=
∴AD=BD
∴AD=BD=AB=5（cm）
過E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，則四邊形CFEG是正方形，
設EF=EG=x，
∴AC•x+BC•x=AC•BC
∴×6•x+×8×x=×6×8
∴x=
∴CE=x=
∵∠DAB=∠DCB，
∵△ADE∽△CBE
∴DE：BE=AE：CE=AD：BC
∴DE：BE=AE：=5：8
∴AE=，BE=AB-AE=10-=
∴DE=
∴CD=CE+DE=+=7（cm）．
答：弦AD，CD的長依次為5cm，7cm．
點評：本題綜合考查了圓周角定理，垂徑定理，角平分線的性質，及相似三角形的性質．解答此題的關鍵是作出輔助線，構造正方形．