Question

如圖，在平面直角坐標系中，線段OA₁=1，OA₁與x軸的夾角為30°，線段A₁A₂=1，A₂A₁⊥OA₁，垂足為A₁；線段A₂A₃=1，A₃A₂⊥A₁A₂，垂足為A₂；線段A₃A₄=1，A₄A₃⊥A₂A₃，垂足為A₃；…按此規律，點A₂₀₁₂的坐標為    ．

Answer 1

【答案】分析：過點A₁作A₁B⊥x軸，作A₁C∥x軸A₂C∥y軸，相交于點C，然后求出點A₁的坐標，以及A₁C、A₂C的長度，并出A₂、A₃、A₄、A₅、A₆的坐標，然后總結出點的坐標的變化規律，再把2012代入規律進行計算即可得解．
解答：解：如圖，過點A₁作A₁B⊥x軸，作A₁C∥x軸A₂C∥y軸，相交于點C，
∵OA₁=1，OA₁與x軸的夾角為30°，
∴OB=OA₁•cos30°=1×=，
A₁B=OA₁•sin30°=1×=，
∴點A₁的坐標為（，），
∵A₂A₁⊥OA₁，OA₁與x軸的夾角為30°，
∴∠OA₁C=30°，∠A₂A₁C=90°-30°=60°，
∴∠A₁A₂C=90°-60°=30°，
同理可求：A₂C=OB=，A₁C=A₁B=，
所以，點A₂的坐標為（-，+），
點A₃的坐標為（-+，++），即（-，+1），
點A₄的坐標為（--，+1+），即（-1，+1），
點A₅的坐標為（-1+，+1+），即（-1，+），
點A₆的坐標為（-1-，++），即（-，+），
…，
當n為奇數時，點A_n的坐標為（-，+），
當n為偶數時，點A_n的坐標為（-，+），
所以，當n=2012時，-=503-503，+=503+503，
點A₂₀₁₂的坐標為（503-503，503+503）．
故答案為：（503-503，503+503）．
點評：本題考查了點的坐標的規律變化問題，作出輔助線，求出各點的橫坐標與縱坐標的規律變化的數值，然后依次寫出前幾個點的坐標，根據坐標與點的序號的特點找出點的坐標的通式是解題的關鍵．