Question

【題目】在平面直角坐標中，邊長為1的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點．現將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉．旋轉過程中，AB邊交直線y=x于點M，BC邊交x軸于點N（如圖1）．

（1）求邊AB在旋轉過程中所掃過的面積；

（2）設△MBN的周長為p，在旋轉正方形OABC的過程中，p值是否有變化？請證明你的結論；

（3）設MN=m，當m為何值時△OMN的面積最小，最小值是多少？并直接寫出此時△BMN內切圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1）；（2）無變化；（3），，

【解析】分析：(1)陰影部分不是一個規則圖形，它的面積等于S陰＝S△OAB＋S扇形OBB′﹣S△OA'B′﹣S扇形OAA′＝S扇形OBB′﹣S扇形OAA′；(2)證明△OAE≌△OCN(AAS)，△OME≌△OMN(SAS)，得到p＝MN＋BN＋BM＝AB＋BC；(3)S△MON＝S△MOE＝OA×EM＝m，即是要求m的最小值，設AM＝n，在Rt△BMN中，由勾股定理得到關于n的一元二次方程，根據△≥求m的最小值，直角三角形的內切圓的半徑等于直角邊的和與斜邊差的一半.

詳解：解：(1)如圖，S陰＝S△OAB＋S扇形OBB′﹣S△OA′B′﹣S扇形OAA′

＝S扇形OBB′﹣S扇形OAA′＝﹣.

(2)p值無變化

證明：延長BA交y軸于E點，

在△OAE與△OCN中，

∠AOE＝∠CON＝90°－∠AON，∠OAE＝∠OCN＝90°，OA＝OC，

∴△OAE≌△OCN(AAS)，∴OE＝ON，AE＝CN.

在△OME與△OMN中，

OE＝ON，∠MOE＝∠MON＝45°，OM＝OM，

∴△OME≌△OMN(SAS)，∴MN＝ME＝AM＋AE＝AM＋CN，

∴p＝MN＋BN＋BM＝AM＋CN＋BN＋BM＝AB＋BC＝2；

(3)設AM＝n，則BM＝1﹣n，CN＝m﹣n，BN＝1﹣m＋n，

∵△OME≌△OMN，∴S△MON＝S△MOE＝OA×EM＝m，

在Rt△BMN中，BM2＋BN2＝MN2，

∴(1﹣n)2＋(1﹣m＋n)2＝m2，化簡得，n2﹣mn＋1﹣m＝0

∴△＝m2﹣4(1﹣m)≥0，解得，m≥﹣2或m≤﹣﹣2，

∴當m＝﹣2時，△OMN的面積最小為﹣1．

此時n＝﹣1，

則BM＝1﹣n＝2﹣，BN＝1﹣m＋n＝2﹣，

∴Rt△BMN的內切圓半徑為＝3﹣．