Question

如圖，在平面直角坐標系中，有等邊三角形OAB，其中OA=2，點C為OA的中點，D、E分別是AB和OB上的動點．
（1）求點C的坐標；
（2）當D、E兩點運動到使得∠DCE=60°，且AD=時，求E點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先作CF⊥BO，根據等邊三角形的性質得到，∠COB=60°，再利用三角函數求出CF、FO長，即可得到點C的坐標；
（2）根據題目條件∠1=∠3，再有條件∠A=∠COE，可以證出△ADC∽△OCE，根據相似三角形的性質可得到=，
代入數值可以求出EO的長，進而可得到E點的坐標．
解答：解：（1）作CF⊥BO，
∵等邊三角形OAB，其中OA=2，點C為OA的中點，
∴CO=1，∠COB=60°，
∴∠FCO=30°，
∴FO=CO=×1=，
FC=COsin60°=，
∴點C的坐標為：（-，）；

（2）∵∠DCE=60°，
∠OCF=30°，
∴∠1+∠2=∠DCE+∠OCF=90°，
∵∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠A=∠COE，
∴△ADC∽△OCE，
∴=，
∴=，
∴EO=．
∴E點的坐標為：（-，0）．
點評：此題考查了等邊三角形的性質，相似三角形的判定與性質，點的坐標，以及三角函數的應用，熟練運用等邊三角形性質及相似三角形的判定與性質定理是解本題的關鍵．