Question

已知△ABC是圓O的內接三角形，∠BAC的平分線交BC于F交圓O于D，DE切圓O于D交AC的延長線于E，連BD，若BD=3

2

，DE+EC=6，AB：AC=3：2，求BC的長．

Answer 1

分析：利用切線的性質以及圓周角、弦切角、弧之間的關系證明直線平行和三角形相似分別求出AB、AC、DE、EC的值，然后利用三角形相似求出FC，AF，DF的值，最后利用相交弦定理求出BF的值，從而求出BC的值．

解答：解：∵DE是圓O的切線，
∴∠CDE=∠CBD=∠DAE．
∴△ADE∽△DCE
∴

DE

EC

=

AE

DE

∴DE²=AE•EC
∴DE²=（AC+EC）EC
∵DE+EC=6
∴DE=6-EC
∴（6-EC）²=AC•EC+EC²
∵∠CBD=∠DAC，
∴∠CDE=∠DAC．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∴∠CDE=∠BAD，BD=DC=3

2

．
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠CDE=∠BCD．
∴BC∥DE．
∴△ABD∽△DCE，
∴

AB

CD

=

BD

CE

∴AB•EC=18
∵AB：AC=3：2
設AB=3x，AC=2x，EC=y，則有

3xy=18 (6-y)2=y2+2xy

解得：

x=3 y=2

∴AB=9，AC=6，EC=2
∴DE=4
∵BC∥DE．
∴△AFC∽△ADE
∴

AC

AE

=

FC

DE

=

AF

AD

∴

6

8

=

FC

4

∴FC=3
可以證明△DFC∽△BFA
∴

DC

AB

=

FC

FA

∴

3 2

9

=

3

FA

FA=

9 2

2

∴

3

4

=

9 2 2

AD

∴AD=6

2

∴DF=

3 2

2

∵DF•AF=BF•FC
∴

3 2

2

×

9 2

2

=3BF
∴BF=

9

2

∴BC=

9

2

+3=

15

2

．
故BC的長為

15

2

．

點評：本題是一道切線的性質運用的解答題，考查了切割線定理，相交弦定理以及相似三角形的判定及性質、平行線的判定．綜合性較強，難度較大．