Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，過對角線BD的中點O的直線分別交AB、CD于點E、F，連接DE，BF．

（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）當四邊形BEDF是菱形時，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）根據平行四邊形ABCD的性質，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結論；

（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的長．

詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，

∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，

∴∠OBE=∠ODF．

在△BOE和△DOF中，，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO=FO，

∴四邊形BEDF是平行四邊形．

（2）解：當四邊形BEDF是菱形時，BD⊥EF，

設BE=x，則DE=x，AE=8﹣x．

在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，

∴x2=42+（8﹣x）2，

解得x=5，即BE=5．

∵BD===4，

∴OB=BD=2．

∵BD⊥EF，

∴EO===，

∴EF=2EO=2．