Question

（2012•揚州）如圖，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側作兩個等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE長的最小值是

1

．

Answer 1

分析：設AC=x，則BC=2-x，然后分別表示出DC、EC，繼而在RT△DCE中，利用勾股定理求出DE長度的表達式，利用函數的知識進行解答即可．

解答：解：如圖，連接DE．
設AC=x，則BC=2-x，
∵△ACD和△BCE分別是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=

2

2

x，CE=

2

2

（2-x），
∴∠DCE=90°，
故DE²=DC²+CE²=

1

2

x²+

1

2

（2-x）²=x²-2x+2=（x-1）²+1，
當x=1時，DE²取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1．
故答案為：1．

點評：此題考查了二次函數最值及等腰直角三角形，難度不大，關鍵是表示出DC、CE，得出DE的表達式，還要求我們掌握配方法求二次函數最值．