Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D，與邊AC交于點E，過點D作DF⊥AC于F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若DE=

5

2

，AB=

5

2

，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）連接AD，OD，則∠ADB=90°，AD⊥BC；又因為AB=AC，所以BD=DC，OA=OB，OD∥AC，易證DF⊥OD，故DF為⊙O的切線；
（2）連接BE交OD于G，由于AC=AB，AD⊥BCED⊥BD，故∠EAD=∠BAD，

ED

=

BD

，ED=BD，OE=OB；
故OD垂直平分EB，EG=BG，因為AO=BO，所以OG=

1

2

AE，在Rt△DGB和Rt△OGB中，BD²-DG²=BO²-OG²，代入數值即可求出AE的值．

解答：（1）證明：連接AD，OD；
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC；
∵AB=AC，
∴BD=DC．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴∠ODF=∠DFA=90°，
∴DF為⊙O的切線．

（2）解：連接BE交OD于G；
∵AC=AB，AD⊥BC，ED=BD，
∴∠EAD=∠BAD．
∴

ED

=

BD

．
∴ED=BD，OE=OB．
∴OD垂直平分EB．
∴EG=BG．
又AO=BO，
∴OG=

1

2

AE．
在Rt△DGB和Rt△OGB中，
BD²-DG²=BO²-OG²
∴（

5

2

）²-（

5

4

-OG）²=BO²-OG²
解得：OG=

3

4

．
∴AE=2OG=

3

2

．

點評：本題比較復雜，涉及到切線的判定定理及勾股定理，等腰三角形的性質，具有很強的綜合性．