Question

如圖1，已知AO是等腰Rt△ABC的角平分線，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）在圖1中，∠AOC的度數為______；與線段BO相等的線段為______；
（2）將圖1中的△AOC繞點O順時針旋轉得到△A₁OC₁，如圖2，連接AA₁，BC₁，試判斷S_△AOA1與S_△BOC1的大小關系？并給出你的證明；
（3）將圖1中的△ABO繞點B順時針旋轉得到△MBN，如圖3，點P為MC的中點，連接PA、PN，求證：PA=PN．

Answer 1

（1）∵AB=AC，AO是∠BAC的角平分線，
∴AO⊥BC，
∴∠AOC=90°，BO=OC，
∵∠BAC=90°，
∴BO=OA=OC；

（2）S_△AOA1=S_△BOC1

．
證明：過點O作MN⊥BC₁于M，交AA₁于N，
∵OB=OC₁，
∴BM=C₁M，∠BOM=∠C₁OM，
∵∠AOB=∠A₁OC₁=90°，
∴∠AON+∠BOM=∠A₁ON+∠C₁OM=90°，
∴∠AON=∠A₁ON，
∵AO=A₁O，
∴ON⊥AA₁，
∴∠A₁NO=90°=∠OMC₁，
∵在△OMC₁和△A₁ON中

∠A1NO=∠C1MO ∠NA1O=∠C1OM A1O=OC1

∴△A₁ON≌△OC₁M（AAS），
∴△A₁ON和△OC₁M的面積相等，
同理可證△AON和△OBM的面積相等，
∴S_△AOA1=S_△BOC1；

（3）證明：延長NP至E，使PE=NP，連接CE，AN，AE，
∵點P為MC的中點，
∴MP=CP，
∵在△PCE和△PMN中

CP=PM ∠EPC=∠MPN PE=NP

，
∴△PCE≌△PMN（SAS），
∴CE=NM=BN，∠MNP=∠PEC，
∴CE∥MN，
設EC的延長線交BN的延長線于O，
∴∠BNM=∠BOC=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴A、B、O、C四點共圓，
∴在四邊形ABOC中，∠ACE=∠ABN，
∵在△ABN和△ACE中

AB=AC ∠ABN=∠ACE BN=CE

                                          
∴△ABN≌△ACE（SAS），
∴AN=AE，∠ABN=∠EAC，
∵∠BAC=90°=∠BAN+∠NAC=∠EAC+∠NAC=∠EAN，
即∠EAN=90°，
∵點P為NE的中點，
∴PA=PN（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半）．