Question

已知拋物線y=x²+（k²-3k-4）x+2k與x軸從左至右交于A、B兩點，且這兩點關于原點對稱．
（1）求k的值；
（2）在（1）的條件下，若反比例函數的圖象與拋物線y=x²+（k²-3k-4）x+2k從左至右交于Q、R、S三點，且Q的坐標（-1，-1），R的坐標（，），S的坐標（，），求四邊形AQBS的面積；
（3）在（1）、（2）條件下，在軸下方拋物線y=x²+（k²-3k-4）x+2k上是否存在點P，使S_△PAB=2S_△RAB？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設A點坐標為（x₁，0），B點坐標為（x₂，0），
∵A、B兩點關于原點對稱，
∴x₁+x₂=0，
又x₁+x₂=-（k²-3k-4），
則k²-3k-4=0，
解得k₁=-1，k₂=4，
當k=4時，拋物線為y=x²+8，此時△=-32＜0，舍去；
當k=-1時，拋物線為y=x²-2，此時△=8＞0，
則拋物線與x軸交于兩點，
故所求k值為-1；

（2）由（1）知A（，0），B（，0），
∴AB=，
則四邊形AQBS的面積為：S_△AQB+S_△ASB=AB•|-1|+AB•||=×2+×2×=；

（3）∵拋物線的頂點坐標為（0，-2），假設滿足條件的點P存在，
則∵S_△PAB=2S_△RAB，
∴點P的縱坐標為：2×（-）=-1-，
而-1-＜-2，
∴P點不存在．
即在x軸下方拋物線上不存在點P，使S_△PAB=2S_△RAB．
分析：（1）設A點坐標為（x₁，0），B點坐標為（x₂，0），由A、B兩點關于原點對稱，即可得x₁+x₂=0，又由x₁+x₂=-（k²-3k-4），即可求得k的值；
（2）由（1）知A（，0），B（，0），即可求得AB的長，又由四邊形AQBS的面積為：S_△AQB+S_△ASB求得答案；
（3）由拋物線的頂點坐標為（0，-2），假設滿足條件的點P存在，由S_△PAB=2S_△RAB，可得點P的縱坐標，即可得即在x軸下方拋物線上不存在點P，使S_△PAB=2S_△RAB．
點評：此題考查了二次函數與一元二次方程的關系，點與函數的關系以及四邊形的面積求解方法等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．