Question

【題目】如圖，E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點(diǎn)．

（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；

（2）當(dāng)AC、BD滿足　　　　時(shí)，四邊形EFGH為菱形．當(dāng)AC、BD滿足　　　　時(shí)，四邊形EFGH為矩形．當(dāng)AC、BD滿足　　　　時(shí)，四邊形EFGH為正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC=BD；AC⊥BD；AC=BD且AC⊥BD．

【解析】

（1）連接BD，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD，從而得到EH∥FG且EH=FG，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；
（2）連接AC，同理可得EF∥AC且EF=AC，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，鄰邊垂直的平行四邊形是矩形，鄰邊相等且垂直的平行四邊形是正方形解答．

（1）如圖，連接BD．

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點(diǎn)，

∴EH是△ABD的中位線，FG是△BCD的中位線，

∴EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD，

∴EH∥FG且EH=FG，

∴四邊形EFGH為平行四邊形；

（2）連接AC，

同理可得EF∥AC且EF=AC，

所以，AC=BD時(shí)，四邊形EFGH為菱形；

AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為矩形；

AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為正方形．

故答案為：AC=BD；AC⊥BD；AC=BD且AC⊥BD．