Question

如圖1，在△ABC與△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AB=BD，M、M′分別為AB、BD中點．
（1）探索CM與EM′有怎樣的數量關系？請證明你的結論；
（2）如圖2，連接MM′并延長交CE于點K，試判斷CK與EK之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據線段中點的概念和已知的AB=BD，得BM=DM′；在△BCM與△DEM′中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AB=BD，可得△BCM≌△DEM′，則CM=EM′；
（2）延長MK至L，使KL=MM'，連接LE，先證明△CMK≌△EM′L后即可得出答案；

解答：證明：（1）根據線段中點的概念和已知的AB=BD，得BM=DM′；
在△BCM與△DEM′中，
∵∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，
∴△BCM≌△DEM′，
∴CM=EM′；

（2）如圖2，延長MK至L，使KL=MM'，連接LE，
則KL+KM′=MM'+KM′，即KM=LM′，
由（1）可知CM=EM′，
∵BD=AB，M是AB的中點，M'是BD的中點，
∴BM=BM′，
∴∠BMM′=∠BM′M，
由（1）知△BCM≌△DEM′，
∴∠BMC=∠EM′D，
∴∠CMK=∠KM′E，
∴△CMK≌△EM′L，
∴CK=EL，
又∠CKM=∠LKE=∠KLE，
∴KE=LE，
CK=KE．

點評：本題考查了直角三角形的性質及三角形的角平分線，中線和高，難度較大，關鍵是巧妙作輔助線證明三角形全等．