Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于點E,O是AB上一點，經過A,E兩點的⊙O交AB于點D，連接DE，作∠DEA的平分線EF交⊙O于點F，連接AF.

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若sin∠EFA=,AF=,求線段AC的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6.4.

【解析】

（1）連接OE，根據等腰三角形的性質和角平分線定義可得，根據平行線的判定可得OE∥AC，再由平行線的性質可得∠BEO=∠C=90°，即可證得結論；（2）連接,根據已知條件易證.在中，根據勾股定理求得.根據同弧所對的圓周角相等及已知條件可得.在中求得AE的長，再證明ΔACE∽ΔAED，根據相似三角形的性質即可求得線段AC的長.

證明：（1）如圖1，連接，

∵，

∴.

∵平分，

∴.

∴.

∴∥ ,

∴.

∴

∵為的半徑，

∴是的切線.

（2）如圖2，連接.

由題可知為的直徑，

∴.

∵平分，

∴.

∴.

∴△AFD為等腰直角三角形，

∴.

在中，，

∴.

∴.

∵，，

∴.

在中，.

∴ .

∵，，

∴∽.

∴.

∴（或6.4）