Question

（2012•郯城縣一模）如圖，已知矩形ABCD的兩條對角線相交于O，∠AOD=120°，AC=2．
（1）求矩形ABCD的周長；
（2）以OB、OC為鄰邊作菱形OBEC，求菱形OBEC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的對角線互相平分且相等求出OA，再求出△AOB是等邊三角形，根據等邊三角形的三條邊都相等求出AB，利用勾股定理列式求出ABC，然后根據矩形的周長列式進行計算即可得解；
（2）連接OE，求出OE的長，再根據菱形的面積等于對角線乘積的一半列式進行計算即可得解．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，∵AC=2，
∴OA=OB=

1

2

×2=1，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°-120°=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=1，
在Rt△ABC中，BC=

AC2-AB2

=

22-12

=

3

，
∴矩形ABCD的周長=AB•BC=1×

3

=

3

；

（2）連接OE，在菱形OBEC中，BC垂直平分OE，
∴OE=AB=1，
菱形OBEC的面積=

1

2

BC•AB=

1

2

×

3

×1=

3

．

點評：本題考查了矩形的對角線互相平分且相等的性質，等邊三角形的判定與性質，菱形的性質，勾股定理的應用，熟記各圖形的性質是解題的關鍵．