Question

如圖1，在平面直角坐標系中，⊙O₁與x軸切于A（－3，0）與y軸交于B、C兩點，BC=8，連接AB。

（1）求證：∠ABO₁=∠ABO；
（2）求AB的長；
（3）如圖2，過A、B兩點作⊙O₂與y軸的正半軸交于M，與O₁B的延長線交于N，當⊙O₂的大小變化時，得出下列兩個結論：①BM－BN的值不變；②BM＋BN的值不變。其中有且只有一個結論正確，請判斷①、②中哪個結論正確，并說明理由。

Answer 1

（1）證明見解析；（2）2；（3）①，理由見解析.

試題分析：（1）連接O1A，由圓O1與x軸切于A，根據切線的性質得到O1A垂直于OA，由OB與AO垂直，根據平面內垂直于同一條直線的兩直線平行，得到O1A與OB平行，根據兩直線平行內錯角相等，得到一對內錯角相等，再由O1A=O1B，根據等邊對等角可得出一對角相等，等量代換可得出∠ABO1=∠ABO，得證；
（2）作O1E⊥BC于點E，根據垂徑定理得到E為BC的中點，由點O1的坐標為（?，-2），可求得OE=O₁B=O₁A=2，O₁E=OA=，然后由勾股定理求得BE的長，繼而求得OB與OC以及AB的長，；
（3）兩個結論中，①BM-BN的值不變正確，理由為：在MB上取一點G，使MG=BN，連接AM、AN、AG、MN，由∠ABO₁為四邊形ABMN的外角，根據圓內接四邊形的外角等于它的內對角，可得出∠ABO₁=∠NMA，再由∠ABO₁=∠ABO，等量代換可得出∠ABO=∠NMA，然后利用同弧所對的圓周角相等可得出∠ABO=∠ANM，等量代換可得出∠NMA=∠ANM，根據等角對等邊可得出AM=AN，再由同弧所對的圓周角相等，及OM=BN，利用SAS可得出三角形AMG與三角形ABN全等，根據全等三角形的對應邊相等可得出AG=AB，由AO與BG垂直，根據三線合一得到O為BG的中點，根據OB的長求出BG的長，然后BM-BN=BM-MG=BG，由BG為常數得到BM-BN的長不變，得證．
試題解析：（1）連接O₁A，則O₁A⊥OA，

又∵OB⊥OA，
∴O₁A∥OB，
∴∠O₁AB=∠ABO，
又∵O₁A=O₁B，
∴∠O₁AB=∠O₁BA，
∴∠ABO₁=∠ABO；
（2）過點作O₁E⊥BC于點E，
∴BE=CE，
∵點O₁的坐標為（?，-2），
∴OE=O₁B=O₁A=2，O₁E=OA=，
∴在Rt△BO₁E中，BE=，
∴OB=OE-BE=2-1=1，OC=OE+CE=2+1=3，
∴；
（3）①正確．理由為：在MB上取一點G，使MG=BN，連接AM、AN、AG、MN，
∵∠ABO₁為四邊形ABMN的外角，
∴∠ABO₁=∠NMA，
又∵∠ABO₁=∠ABO，
∴∠ABO=∠NMA，
又∵∠ABO=∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∵∠AMG和∠ANB都為所對的圓周角，
∴∠AMG=∠ANB，
∵在△AMG和△ANB中，
，
∴△AMG≌△ANB（SAS），
∴AG=AB，
∵AO⊥BG，
∴BG=2BO=2，
∴BM-BN=BM-MG=BG=2其值不變．
考點: 圓的綜合題.