Question

如圖，直線y=-x+4與兩坐標軸分別相交于A、B兩點，點M是線段AB上任意一點（A、B兩點除外），過M分別作MC⊥OA于點C，MD⊥OB于點D。
（1）當點M在線段AB上運動時，你認為四邊形OCMD的周長是否發生變化？并說明理由；
（2）當點M運動到什么位置時，四邊形OCMD的面積有最大值？最大值是多少？
（3）當四邊形OCMD為正方形時，將四邊形OCMD沿著x軸的正方向移動，設平移的距離為a（0＜a＜4），正方形OCMD與△AOB重疊部分的面積為S，試求S與a的函數關系式，并畫出該函數的圖象。

Answer 1

解：（1）設點M的橫坐標為x，則點M的縱坐標為-x+4（0＜x＜4）， 則：MC=|-x+4|=-x+4， MD=|x|=x， ∴四邊形OCMD的周長為2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8， ∴當點M在AB上運動時，四邊形OCMD的周長不發生變化，總是等于8；
（2）根據題意得：S四邊形OCMD=MC·MD=（-x+4）·x=-x2+4x=-（x-2）2+4, ∴四邊形OCMD的面積是關于點M的橫坐標x（0＜x＜4）的二次函數，并且當x =2，即當點M運動到線段AB的中點時，四邊形OCMD的面積最大，且最大面積為4；
（3）如圖（1），當0＜a≤2時，   如圖（2），當2＜a＜4時， ∴S與a的函數的圖象如圖（3）所示：