Question

如圖，在直角坐標系中，點B坐標為（-4，0），點C與點B關于原點O對稱，點A為y軸上一動點，其坐標為（0，k），BE，CD分別為△ABC中AC，AB邊上的高，垂足分別為E，D．
（1）當k=-3時，求AB的長；
（2）試說明△DOE是等腰三角形；
（3）k取何值時，△DOE是等邊三角形？（直接寫出k的值即可）

Answer 1

分析：（1）根據點B坐標為（-4，0），點C與點B關于原點O對稱，點A為y軸上一動點，其坐標為（0，k），當k=-3時，求出點A的坐標，再根據勾股定理即可求出AB的長；
（2）根據C與點B關于原點O對稱，求出OB=OC，再根據BE是△ABC中AC邊上的高，求出OE和OD的值，從而得出OD=OE，即可得出△DOE是等腰三角形；
（3）分△ABC是銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行討論，即可得出k的值．

解答：解：（1）∵點B坐標為（-4，0），當k=-3時，A的坐標為（0，-3），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=

32+42

=5；

（2）∵點C與點B關于原點O對稱，
∴OB=OC，
∵BE是△ABC中AC邊上的高，
∴OE=

BC

2

，
同理OD=

BC

2

，
∴OD=OE，
∴△DOE是等腰三角形；

（3）當△ABC是銳角三角形，點A在y軸的正半軸時，
若△ODE為等邊三角形，則∠DOE=60°，
∵∠BOD=∠COE=60°，
∵OD=OB，
∴∠DBO=60°，
∴∠BAO=30°，
∴AB=2BO=8，
∴OA=

AB2-BO2

=

82-42

=4

3

，
∴k=4

3

，
當點A在y軸的負半軸時，
k=-4

3

，
如圖：當△ABC是鈍角三角形時，
若△ODE為等邊三角形，則∠DOE=60°，
∵∠BOD=∠COE，
∴∠COE=60°，
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB=30°，
∴AB=2AO=2|k|，
k²+4²=（2k）²，
k=±

4

3

3

；
則k=±

4

3

3

或±4

3

．

點評：此題考查了等邊三角形的判定，用到的知識點是坐標與圖形的性質、等腰三角形的判定和勾股定理，熟練掌握有關定義和性質是本題的關鍵．