Question

如圖所示，AC與⊙O相切于點C，線段AO交⊙O于點B．過點B作BD∥AC交⊙O于點D，連接CD、OC，且OC交DB于點E．若∠CDB=30°，DB=5

3

cm．
（1）求⊙O的半徑長；
（2）求由弦CD、BD與弧BC所圍成的陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

分析：（1）根據切線的性質定理和平行線的性質定理得到OC⊥BD，根據垂徑定理得到BE的長，再根據圓周角定理發現∠BOE=60°，從而根據銳角三角函數求得圓的半徑；
（2）結合（1）中的有關結論證明△DCE≌△BOE，則它們的面積相等，故陰影部分的面積就是扇形OBC的面積．

解答：解：（1）∵AC與⊙O相切于點C，
∴∠ACO=90°
∵BD∥AC∴∠BEO=∠ACO=90°，
∴DE=EB=

1

2

BD=

5 3

2

（cm）
∵∠D=30°，
∴∠O=2∠D=60°，
在Rt△BEO中，sin60°=

BE

OB

，

3

2

=

5 3 2

OB

∴OB=5，即⊙O的半徑長為5cm．

（2）由（1）可知，∠O=60°，∠BEO=90°，
∴∠EBO=∠D=30°
又∵∠CED=∠BEO，BE=ED，
∴△CDE≌△OBE
∴S陰=S扇OBC=

60

360

π•52=

25π

6

(cm2)，
答：陰影部分的面積為

25π

6

cm2．

點評：本題主要考查切線的性質定理、平行線的性質定理、垂徑定理以及全等三角形的判定方法．能夠熟練解直角三角形．