Question

（本小題滿分12分）
已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC =" 8" cm，BC =" 6" cm，EF =" 9" cm．
如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發，以2 cm/s的速度沿BA向點A勻速移動.當△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動．DE與AC相交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）．

解答下列問題：
（1）當t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？
（2）連接PE，設四邊形APEC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；是否存在某一時刻t，使面積y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由．
（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、F三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）t=2
（2）當t = 3時，y最小=
（3）當t = 1s，點P、Q、F三點在同一條直線上

解析解：（1）∵點A在線段PQ的垂直平分線上，
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，
∴∠EQC = 45°.
∴∠DEF =∠EQC.
∴CE =" CQ."
由題意知：CE = t，BP ="2" t，          
∴CQ = t.
∴AQ = 8－t.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB =" 10" cm .
則AP = 10－2 t.
∴10－2 t = 8－t.
解得：t = 2.
答：當t =" 2" s時，點A在線段PQ的垂直平分線上.      4分
（2）過P作，交BE于M，∴.

在Rt△ABC和Rt△BPM中，，
∴ .  ∴PM = .
∵BC =" 6" cm，CE = t， ∴BE = 6－t.
∴y = S△ABC－S△BPE =－= －
= = .
∵，∴拋物線開口向上.
∴當t = 3時，y最小=.
答：當t = 3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm2.   8分
（3）假設存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上.

過P作，交AC于N，
∴.
∵，∴△PAN ∽△BAC.
∴.
∴.
∴，.
∵NQ = AQ－AN，
∴NQ = 8－t－() = ．
∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一條直線上，
∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN，
∴△QCF∽△QNP .
∴ . ∴ . 
∵   ∴
解得：t = 1.
答：當t = 1s，點P、Q、F三點在同一條直線上.       12分