Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且BC=2，以CD為直徑作⊙O交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，0）、B（0，2

3

）．
（1）求C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求證：EF為⊙O′的切線；
（3）寫出頂點(diǎn)為C且過點(diǎn)D的拋物線的函數(shù)解析式，并判斷該拋物線是否過原點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）連接CE，因?yàn)镃D是⊙O’的直徑，所以CE⊥X軸，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可知EO=BC=2，CE=BO=2

3

，DE=AO=2，所以DO=4，因此C（-2，2

3

），D（-4，0）．
（2）連接O’E，在⊙O’中，因?yàn)镺’D=O’E，所以∠O’DE=∠DEO’，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可證得O’E∥AB，又因?yàn)镋F⊥AB，
所以O(shè)’E⊥EF．根據(jù)切線的判定定理可知EF為⊙O’的切線．
（3）由（1）知C（-2，2

3

），D（-4，0），利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可得頂點(diǎn)是C的拋物線的解析式為y=-

3

2

x²-2

3

x．根據(jù)點(diǎn)的意義可把原點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）代入函數(shù)關(guān)系式看是否滿足即可．

解答：解：（1）連接CE，因?yàn)镃D是⊙O′的直徑，
所以CE⊥X軸，
所以在等腰梯形ABCD中，
EO=BC=2，CE=BO=2

3

，DE=AO=2，
所以DO=4，
因此C（-2，2

3

），D（-4，0）．

（2）連接O′E，在⊙O′中，
因?yàn)镺′D=O′E，
所以∠O′DE=∠DEO′，
又因?yàn)樵诘妊�梯形ABCD中，∠CDA=∠BAD，
所以∠DEO′=∠BAD，
所以O(shè)′E∥AB，
又因?yàn)镋F⊥AB，
所以O(shè)′E⊥EF．
又因?yàn)镋在⊙O′上，
所以EF為⊙O′的切線．

（3）由（1）知，C（-2，2

3

），D（-4，0），
y=x（x+2）²+2

3

，
∴0=a（-4+2）²+2

3

，
∴a=-

3

2

，
可得頂點(diǎn)是C的拋物線的解析式為y=-

3

2

（x+2）²+2

3

=-

3

2

x-2

3

x，
∵當(dāng)x=0時(shí)y=0，
∴拋物線y=-

3

2

x-2

3

x經(jīng)過O（0，0），即該拋物線過原點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到的知識點(diǎn)有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和等腰梯形，圓的有關(guān)性質(zhì)等．要熟練掌握才能靈活運(yùn)用．