Question

已知，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，E是OA上任一點，BE的延長線交⊙O于D，過D的⊙O的切線交OA的延長線于C．
（1）求證：CE=CD；
（2）若OE=1，AE=2，求AD的長度．

Answer 1

解：（1）連接OD，如圖所示：

∵DC為圓O的切線，
∴OD⊥DC，
∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠EDC=90°，
∵OB⊥OC，∴∠BOE=90°，
∴∠B+∠BEO=90°，
又∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠EDC=∠BEO，又∠BEO=∠CED，
∴∠EDC=∠CED，
∴CE=CD；

（2）延長AO與圓O交于點F，連接DF，
∵CD為圓O的切線，∠ADC為弦切角，
∴∠ADC=∠F，又∠C=∠C，
∴△ADC∽DFC，
∴==，
設CD=x，且OE=1，AE=2，
則CE=x，CA=x-2，
∴=，即x²=x²+2x-8，
解得：x=4，
∴AC=4-2=2，
∴===，
∵AF為圓O的直徑，∴∠ADF=90°，
在直角三角形ADF中，
AF=2OA=2（OE+AE）=6，設AD=k，則DF=2k，
根據勾股定理得：k²+（2k）²=36，
解得：k=，
則AD=．
分析：（1）連接OD，由DC為圓O的切線，根據切線的性質得到OD與DC垂直，可得出∠ODB+∠EDC=90°，再由OB與OA垂直，得到∠B+∠BEO=90°，由OB=OD，根據等邊對等角可得∠B=∠ODB，根據等角的余角相等可得∠EDC=∠BEO，再根據對頂角相等可得∠BEO=∠CED，等量代換可得∠CED=∠CDE，根據等角對等邊可得CE=CD，得證；
（2）延長AO與圓O交于點F，連接DF，由DC為圓O的切線，根據弦切角等于夾弧所對的圓周角，再加上一對公共角，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形FDC與三角形ADC相似，由OE及AE的長，利用OE+EA可得出OA的長，進而得到AF的長，設CD=x，根據第一問的結論得到CE=x，由CE-AE表示出AC，由相似得比例可列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出AC的長，進而得到AD與FD的比值，根據比值分別設出AD=k，與FD=2k，在直角三角形AFD中，利用勾股定理得到關于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可得出AD的長．
點評：此題考查了切線的性質，等腰三角形的性質，等角的余角相等，相似三角形的判定與性質，比例的性質，以及勾股定理，利用了轉化及方程的思想，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．